町県民税は、1月1日にお住いの市町村で1年間の税額が課税されますので、年の途中で転出しても還付はありません。
そのため、当該年度分までの町県民税は全額、八百津町へ納付していただくことになります。また、年の途中で八百津町に転入された場合、その年度は1月1日にお住まいであった市町村で課税され、八百津町では翌年度から課税されます。